3.3. Мера квантовой запутанности

Слушать главу "Мера квантовой запутанности" : 


КМера квантовой запутанности

Когда речь заходит о количественном описании квантовой запутанности, на первый план
выходит понятие матрицы плотности. Первой была введена мера квантовой запутанности для
самого простого случая— двухчастичной системы в чистом состоянии [типа (3.1)], то есть мера
запутанности между двухуровневыми подсистемами А и B, когда вся система замкнута (находится
в чистом состоянии).

Основывается эта мера на понятии частичной матрицы плотности и
выражается в терминах энтропии фон Неймана:
Формула (3.6)
Здесь ρA— частичная (редуцированная) матрица плотности подсистемы А. Получается она
взятием частичного следа* по B. С физической точки зрения, взятие частичного следа и
получение редуцированной матрицы плотности — это усреднение по всем внешним степеням
свободы выделенной подсистемы (по ее внешнему окружению). В некотором отношении это
проведение границы между подсистемой и ее окружением, когда подсистема может
рассматриваться независимо от него. Мы как бы «вырезаем» нашу подсистему из более сложной
структуры и рассматриваем ее в качестве самостоятельного объекта. В результате этой операции
пространство допустимых состояний подсистемы уменьшается, частичная матрица плотности
имеет меньшую размерность, чем исходная система, например, из матрицы 4 × 4 получается
матрица 2 × 2, как было показано выше, когда из матрицы (3.3) получалась (3.5).

* Более подробно, с примерами, см. мою статью: Доронин С.И. Мера квантовой запутанности чистых
состояний // Квант. Маг. 1, 1123 (2004), http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL112004/abs1123.html.

Эта мера запутанности была предложена Чарльзом Беннеттом (Charles H. Bennett) с
соавторами* в 1996 году.

* Bennett C. H., Bernstein H. J., Popescu S. and Schumacher B. Phys. Rev. A 53, 2046 (1996).

Затем Вуттерс* ввел более общую количественную характеристику запутанности
двусоставной системы— не только для чистого, но и для смешанного состояния. Называется она
concurrence (согласованность, гармония)**. Она была введена достаточно сложно, с
использованием «спин-флип» преобразования.

* Hill S. and Wootters W. K. Phys. Rev. Lett. 78, 5022 (1997).
** Эту меру запутанности я, например, использовал в работе: Doronin S. I. Phys. Rev. A 68, 052306 (2003), где
анализировалась динамика квантовой запутанности в системе взаимодействующих ядерных спинов.

Впоследствии было найдено* более удобное и общее выражение для вычисления
согласованности уже в многосоставных системах:

Формула 

* Rungta P, Buzek V, Caves C. M, Hillery M. and Milburn G. J. Phys. Rev. A 64, 042315 (2001).

Оно справедливо для произвольных замкнутых систем и характеризует меру квантовой
запутанности подсистемы А (любой размерности) со всем ее окружением (также любой
размерности).
Согласованность в качестве меры квантовой запутанности использовалась в широко
известном эксперименте по макроскопической запутанности*.

* Ghosh S. et al. Nature, 425, 48 (2003). См. обзор этой экспериментальной статьи (на русском языке):
http://perst.issp.ras.ru/Control/Inform/perst/2003/3_19/perst.htm#D19.

В целом, наличие квантовой запутанности в макроскопических системах трудно
подвергнуть сомнению, поскольку есть «железное» утверждение (принцип несепарабельности)—
если системы взаимодействуют друг с другом, то они квантово запутаны между собой (связаны
нелокальными квантовыми корреляциями). Наличие любого взаимодействия — достаточное
условие для квантовой запутанности (несепарабельности) взаимодействующих объектов. Но одно
дело — это понимать и декларировать, а другое — уметь количественно описывать эту
запутанность и сопоставлять адекватность теоретического описания с результатами физических
экспериментов.

Были предложены и другие меры квантовой запутанности, постоянно ведется поиск
наиболее удобных в практическом применении. Из них наиболее известны следующие.
1. Перес-Городецки, или PPT (positive partial transpose) критерий сепарабельности:
Peres. Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996); Horodecki M., Horodecki P. and Horodecki R. Phys.
Lett A 223, 1 (1996).
2. Основанная на PPT-критерии мера запутанности— отрицательность (negativity):
Życzkowski K., Horodecki P., Sanpera A. and Lewenstein M. Phys. Rev. A 58, 883 (1998);
Vidal G. and Werner R. F. Phys. Rev. A 65, 032314 (2002).
3. Относительная энтропия запутанности (relative entropy of entanglement):
Vedral V., Plenio M. B., Jacobs K. and Knight P. L. Phys. Rev. A 56, 4452 (1997).
4. CCN (computable cross-norm) критерий:
Rudolph O. Phys. Rev. A, 67, 032312 (2003).
5. Мера, основанная на рангеШмидта:
Eisert J. and Briegel H. J. Phys. Rev. A 64, 022306 (2001).
6. Мера запутанности, основанная на метрике гильбертова пространства (расстоянии
Гильберта-Шмидта), эту меру можно рассматривать как информационное расстояние
между двумя состояниями:
Lee J., Kim M. S., Bruker Časlav. Phys. Rev. Lett. 91, 087902 (2003) и некоторые другие.

В наиболее явном виде связь между квантовой запутанностью и квантовой информацией
устанавливает мера запутанности, основанная на метрике гильбертова пространства (расстоянии
Гильберта-Шмидта). Приведу небольшую цитату из указанной выше работы: «Математические
формулировки всех фундаментальных физических теорий основаны на концепции абстрактного
пространства. Структура пространства и теорий определена его метрикой. Например, метрика
Минковского определяет математическую структуру специальной теории относительности, и
метрика Римана определяет структуру общей теории относительности. В квантовой механике
расстояние Гильберта-Шмидта (Hilbert-Schmidt distance) является естественной метрикой
гильбертова пространства».
В настоящее время расстояние Гильберта-Шмидта довольно часто рассматривается в
качестве меры, показывающей, насколько близки друг к другу два данных состояния. Эта
близость, прежде всего, информационная, например, в указанной выше работе авторы вводят
операторную меру, которая «…эквивалентна расстоянию Гильберта-Шмидта <…> и может
интерпретироваться как информационное расстояние между двумя квантовыми состояниями.
Кроме того, тот факт, что операторная мера является эквивалентной расстоянию Гильберта-
Шмидта, говорит о том, что внутренняя структура Гильбертова пространства отражает теоретико-
информационные основы квантовой теории».
Таким образом, расстояние Гильберта-Шмидта определяет структуру пространства
состояний (гильбертова пространства) в квантовой теории, и эта структура имеет чисто
информационную природу.
Здесь мы подошли к очередному важному вопросу — что же такое информация в
квантовой теории? О ней мы часто упоминали, но до сих пор это были лишь общие слова. Теперь
поговорим об этом более подробно.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *